откуда IFj. = 1 - U/jg = 0,57. Это означает, что у двоих из 25 учеников нашего класса дни рождения совпадают с вероятностью 57 %.

Чтобы найти числитель дроби, задающей 125, вам понадобилось ввести 25 трехзначных чисел, не забывая каждый раз нажимать клавишу умножения. Это - не малая физическая работа. Нужно ли удивляться тому, что математики неоднократно предпринимали попытки получи гь тот же результат с меньшей затратой сил.

Прежде всего познакомим читателя с соотношением

!)(/,-2) ... ip-n+l)j

(в правильности его вы можете убедиться на числовых примерах). Здесь р\ (читается «р факториал») означает произведение всех натуральных чисел от 1 до р, то есть р\ = 1-2- ... -р. При р = 365 и п, равном числу людей в группе, наша формула для Wn пере.ходит в формулу

W 365!

" (365 - га)! 365"

Но даже если у вас под рукой микрокалькулятор сверхновой конструкции, у которого среди прочих

имеется специальная клавиша

для вычисления

факториалов, не торопитесь радоваться: число 365! столь велико, что «не умещается» в самом «емком» микрокалькуляторе. Чтобы записать его, нам понадобилось бы около 800 знаков. К счастью, шотландскому математику Дл<еймсу Стирлингу (1692-1770) удалось найти удобную формулу, позволяющую приближенно представить факториал любого числа в таком виде, в котором его нетрудно вычислить, например, при помощи логарифмов (см. раздел «Не бойтесь логарифмов»). Формула Стирлинга имеет следующий вид:

Даваемое ею приближение тем лучше, чем больше х. Например, при л; = 5 по формуле Стирлинга находим 5! л; 118, в 10 время как точное значение факториала равно 120. Следовательно, при х = 5 формула Стир-

линга дает погрешность 2%. При х=10 ее погрешность составляет лишь 1 %.

Формула Стирлинга позволяет нам преобразовать нашу формулу

П7 365t

п - (365 - га)! 365"

в приближенную формулу

У2я-365 .36S365-e-363

V2n (365 - га) (365 - га)*-" • e--"*.

Впрочем, и приближенная формула мало пригодна для вычисления вероятности Wn, поскольку и в числителе, и в знаменателе по-прежнему стоят огромные числа. Однако от них можно без особого труда избавиться, если проделать несложные преобразования (которые мы не будем приводить здесь). После упрощений получим:

. .«-355,5

Эта формула особенно удобна для вычисления вероятности Wn на микрокалькзляторах, имеющих кла-

виши

Помните: е"=1/е*.

Если у вас есть желание и около минуты свободного времени, то вы вполне можете вычислить Wn при п = 40 и тем самым найти решение задачи, поставленной в начале этого раздела. Для сравнения мы приведем ответ: =0,109, а Гд = 1 - 0,109 = 0,891. Следовательно, вероятность того, что среди 40 случайно собравшихся людей найдется по крайней мера одна пара родившихся в один и тот же день, равна 89,1 %.

С этим результатом вы спокойно отправляетесь на поиски партнера, достаточно азартного, чтобы део-жать пари, не утруждая себя размышлениями о математической подоплеке спора. В качестве группы из 40 человек вы можете выбрать, например, 40 знаменитостей, чьи биографические данные (а следовательно, и дни рождения) приведены в одном из toji-b

какой-нибудь энциклопедии. Насчитав 40 человек, можете смело «закрыть список». За исход пари не стоит опасаться: вероятность 89 % соответствует шансам на выигрыш 9:1. Вы можете даже поразить воображение ваших близких, если только вам удастся найти среди них достаточное число партнеров.

Обратимся теперь к лотереям. Вас, конечно, интересует, какова вероятность выигрыша, например, в лотерее «6 из 49» (участники такой лотереи должны правильно угадать как можно больше из 6 номеров от 1 до 49, которые после розыгрыша тиража публикуются в официальной таблице).

Математики подсчитали, что вероятность угадать 6 чисел из 49 составляет

W/ - (49-6)! 6!

-49!-•

Если у вашего микрокалькулятора имеется клавиша для вычисления факториалов

то для получения результата достаточно трижды нажать на нее (и выполнить одно умножение и одно деление). Микрокалькулятор может вычислять факториалы натуральных чисел от ! до 69, так как число 69! почти достигает верхней границы 10+ чисел, представимых в микрокалькуляторе. Если у микрокалькулято-

ра имеется клавиша ! , то числитель и знаменатель

дроби, выражающие W, можно предварительно сократить на 43!, после чего у нас останется

44 45 . 46 47 . 48 • 49 •

Напоминаем: п! = 1 • 2 • 3 • ... • п.

Для удобства приведем правильный результат; = , = 7,15-10"*. Величина, обратная W,, равна 113 983 817. Столько карточек вам пришлось бы заполнить, чтобы гарантировать получение главного выигрыша.

Если ваши притязания более умеренны и вы могли бы довольствоваться, угадав лишь 5 номеров из 6, то вероятность 15 можно вычислить по формуле

(49 -- 6)! 6! (49--6)6!

5 149-6-(6-5)]! (6-5)1 (6-5)! 5! " 491