Несмотря на хорошее согласие вычисленные значения значительно отличаются от измеренных: измеренные значения как бы разбросаны вокруг кривой, проходящей через вычисленные значения.

ГАУССОВА КРИВАЯ

Представьте себе, что к вам обратился с просьбой решить задачу контролер ОТК одного из заводов. Он знает вас как неглупого человека и к тому же владельца микрокалькулятора. Речь идет о следующей производственной задаче.

Токарный станок обтачивает валы до заданного диаметра. Изучение выпущенной продукции позволило накопить обширный статистический материал и прийти к выводу, что среднее значение диаметра вала составляет М = 100 мм при стандартном Отклонении 5 = 0,1 мм. Заказчик требует, чтобы отклонения как в одну, так и в другую сторону не превосходили 0,15 мм. Какой процент брака следует ожидать?

Чтобы ответить на вопрос контролера ОТК, вам прежде всего необходимо знать следующее: признак X, совершающий малые случайные колебания около наиболее часто принимаемого значения, как правило, нормально распределен. Это означает, что если построить график зависимости частоты от значений х, то получится вполне определенная кривая, известная под названием колоколообразной гауссовой кривой

Распределение частот однозначно определяется средним арифметическим М и стандартным отклонением S (см. раздел «Среднее и разброс»). Независимую переменную х целесообразно подвергнуть преобразованию и перейти к переменной

2 = -

График исходного распределения в переменных z, собственно, и называется нормированной гауссовой

Частота

Рис. 17. Гауссова кривая. Площадь под кривой (от -оо до хо) задает вероятность.

кривой (рис. 17). Аналитическое выражение ее имеет вид

1 .-

Площадь под гауссовой кривой не менее важна, чем сама кривая: площадь под кривой от z = -оо до г = = Zo служит мерой вероятности попасть в подмножество допустимых значений, удовлетворяющих неравенству 2 < Zq.

Нельзя не упомянуть еще об одной интересной особенности гауссовой кривой: хотя она «лишь» бесконечно близко подходит к оси X (или г), площадь под гауссовой кривой конечна и равна 1.

Математикам удалось найти формулу, выражающую площадь под гауссовой кривой от -сю до z, как функцию 2. Имея под рукой микрокалькулятор, вы

по этой формуле сможете вычислить при заданном г вероятность P{z) того, что интересующий вас признак принимает значение, не превосходящее г. Формула, о которой идет речь, имеет следующий вид:

Выписанных членов вполне достаточно для того, чтобы вы могли подметить общий закон, по которому должны быть выписаны остальные члены.

Напомним, что п! (читается: «эн факториал») означает произведение l-2З- ... ...•(п-1)П, где п -любое натуральное число.

Но вернемся к нашей задаче. Прежде всего мы хотим вычислить Z для верхней допустимой границы (jf= 100,15 мм). Производя преобразование по формуле г= (х - M)ls (среднее арифметическое Ш~ = 100 мм, стандартное отклонение s=0,l мм), получаем

100,15 - 100 , -

z~- ---1,5,

поэтому

on 1 .1 -5 л 1,5 , 1,5 1,5« , 1,5»

--j2ot) = 05 + 0,5984 (1 - 0,375 + 0,1266 -

- 0,034 + 0,0074 - 0,0014) « 0,933 = 93,3 %.

Следовательно, с вероятностью 93,3 % диаметр вала, обточенного на токарном станке, окажется не выше допустимого предела. Это означает, что около 7 % изготовленных валов имеет диаметр, превосходящий установленный заказчиком верхний предел. Из соображений симметрии следует, что примерно такую же долю от всей продукции составляют валы, диаметр которых меньше нижнего допустимого предела в 99,85 мм. Таким образом, контролеру ОТК вы можете предсказать, что брак будет составлять около 14 %.

Чтобы обеспечить два знака после запятой, в разложении вероятности Pz) в степенной ряд необходима