ден на рис. 8.2. Скорость переходов менаду системами уровней вокруг 82 и определяется теми же факторами, что и в случае локализованных уровней [(10.2.9) и (10.2.10)1, но, кроме того, она пропорциональна соответствующим плотностям состояний. Тогда скорость индуцированных переходов .между энергетическими полосами de и dej

Гнид de, = В р (/,,) Sc (е) (Ь, Sy (е,) de, (2,) (10.2.11)

по аналогии с (10.2.4). Коэффициент В, характеризующий взаимодей ствие .между состояниями, имеет несколько необычную размерность [м-с--Дж""*]. Аналогично скорость спонтанных переходов в единице объема

rc;de,de» = /lSc (е,) de Sy (е,) de, 2(I-i)- (10.2.12)

Константа А определяется свойствами энергетических состояний и имеет размерность [м-с"*].

В равновесном состоянии имеется единственный уровень Ферми 6/?jv = Kfp ~- Kf, плотность излучения соответствует излучению абсолютно черного тела р (/2,) = Рч.т (/21) и обмен между энергетическими уровнями сбалансирован: Ги„д + гп- Таким образом, используя (10.1.2), имеем

/1 (2 (1 - Л) + В р,., (/2,) {F,-Fi) = О,

/г ч Snhfli А/В (10 2 13)

С использованием (10.1.2). Теперь

Er-F, [l/(g+l)]-[l/(e+l)l ..Ziz£l (,-.) 1 2(1-г) Ii/(e*+i)]Ie-/(e*+l)]

использовав (10.2.6) и (10.2.7). Но

(/ -д;= (eg-е/гл) -(е, -е/гр)/Л7 = Е. -е,/ЛТ = Л/2,МГ,

поскольку в равновесии rp -= rpn. Подставляя этот результат в (10.2.13), получаем

А IB =ЫЩис. (10.2.14)

10.2.3. Влияние показателя преломления

. Рассмотрим показатель преломления, который оказывает существенное влияние на работу полупроводниковых лазеров. В этой части книги, посвященной полупроводникам, будем использовать обозначения fi и fipp для фазового и группового показателя преломления.

В полости, содержащей преломляющую среду, плотность излучения абсолютно черного тела становится

Рч.т {/) = 8яц« hflc [ехр (Л ЛГ) -11, (10.2.15)

r,2 U /,5 XS 7.7 7,1

Snepeufl фотонов, эВ

Рис. 10.5. Изменение коэффициента преломления Ga с нзмеиеннем энергии фотонов прн различной степени легирования и Г=290 К; а - чистый материал, «d=5X10" м-; б - материал я-типа, nj>=2x Х10** м-; в - материал р-типа nj>=lX10 » М-* [D. D. Sell et al. Concentration dependence oi the refractive index for n- and p-type GaAs bei ween 1,2 and 1.8 EV- J. Appl. Phys. 45, 2650-7 (5974).]

a соотношение между спектральной плотностью излучения и плотностью мощности [(10.1.9)1

р (/) = fiPH/)/c- (10.2.16)

Выражения (10.2.13) и (10.2.14) преобразуются к виду

А1В = 8яц hf\. /с" = Вяц" е«. /Л с\ (10.2.17)

Значения показателя преломления для некоторых полупроводников приведены в табл. 7.2. Вблизи края полосы поглощения показатель преломления существенно зависит от энергии фотона, как это показано на рис. 10.5 для GaAs.

10.2.4. Расчет коэффициента усиления

Рассмотрим неравновесную ситуацию, которая может возникнуть в результате токовой инжекции через /э-п-переход и при которой происходит разделение квазиуровней Ферми. Плотность mohihocth излучения, обусловленного спонтанными переходами из энергетической полосы d&2 около в полосу dfej около энергии е,.

P2i = ic/\i)p(fiddf. Если

dei == deg = de = hdf, тогда

P (fii) = VPJcdE. 274

(10.2.18) (10.2.19)

(10.2.20)

J,S J.5

Индуцированные переходы между этими полосами приводят к увеличению плотности оптической мощности

= вфВ Sc Ы Sv (е.) (F-Fi) dz. (10.2.21)

Здесь использовали (10.2.11), (10.2.20) и значение энергии фотона Сф = = бг - е. Таким образом, вклад в коэффициент усиления, обусловленный системой уровней в диапазоне d& вокруг и е, составляет

g« = = е„ 5 Sc (е,) S, (е,) {F,-F,) de. (10.2.22)

az с

Чтобы получить общий коэффициент усиления фотонов с энергией еф, нужно проинтегрировать по всем парам уровней в валентной зоне и зоне проводимости, расстояние между которыми удовлетворяет условию Ej = eg - Еф. Тогда

У. J BSc(e.,)Sy(8.,-eф)(F2-f,)de. (10.2.23)

В ЭТОМ выражении было произведено интегрирование по энергия.м в зоне проводимости Eg, хотя тот же результат будет получен и при интегрировании по энергиям в валентной зоне Удобнее использовать А вместо В, поэтому подставим (10.2.17) в (10.2.23) и получим

X j Л5с(82)51-(, e,t,)(F2-f,)de2. (10.2.24)

Как и раньше, (F. - f,) становится больше нуля только при

еф = 82 -е, >ef,v-е/гр= Де/г. (10.2.8)

При выполнении этого условия (f -F,) > О по всему диапазону энергий зоны проводимости и g (Еф) > о, т. е. имеем чистое усиление. Когда условие (10.2.8) не выполняется, g{z)<Si и имеем чистое поглощение.