в § п.3.1 Приложения 3 показывается, что векторное уравнение (2.1.21) можно представить в виде следующих трех скалярных дифференциальных уравнений:

„(л) 4=л(ло)(-4 =Е, (6.2.1)

, ds ,г.. О

-iL-4-i!L. (6.2.3) dz2 dr

Е п {го) cos Yo. (6.2.4)

/ - Г(, sec Yd (cos Ро cos fpo - cos sin фо) (6.2.5)

- тюстоянные, которые определяют траекторию луча, распространяющегося в волокне. Они, а следовательно, и траектория данного луча зависят только от начальных условий, т. е. от положения и направления луча при его входе в волокно в плоскости г 0.

В § П.3.2 Приложения 3 также показано, каким образом можно проинтегрировать уравнение (6.2.3), чтобы получить

..(!l!ilL il-.i) . (6.2.6)

dz \ £2

при этом радиусы л, и определены как корни ажедующего уравнения „2 JliL £2 0. - (6.2.7)

Ряд фактов можно сразу вывести из уравнений (6.2.6) н (6.2.7). Во-первых, величины и зависят от профиля показателя преломления п (г) и начальных условий ввода луча в волокно, определяемых £ и /. Во-вторых, производная drIdz принимает вещественное значение только внутри области, ограниченной н г. В-третьих, радиусы и Га определяют точки поворота, в которых drfdz О, а траектория луча не имеет никакой радиальной составляющей. В-четвертых, траектории лучей, для которых уравнение (6.2.7) имеет два вещественных корня, заключены в области между г, и г; траектории лучей, не удовлетворяющие этому условию, не будут располагаться в волокне. Цилиндрические поверхности радиусов и г., ограничивающие траектории лучей, в оптике называются каустиками. В-пятых, можно видеть, что условие прохождения лучей через ось волокна (условие меридиональный лучей) имеет вид I 0.

Дальнейщее интегрирование уравнения (6.2.6) показывает, что траектория луча периодически изменяется по г на протяжении z

вдоль оси волокна. в приложении 3 показано, что величину Zq можно найти по формуле:

На протяжении расстояния 2о азимутальное положение луча всегда изменяется на один и тот же угол Ф, определяемый выражением

ф .2?--. (6.2.9)

, ~Ъ W ~" ,

Таким образом, траектории лучей вдоль волокна имеют вид сложных спиральных линий, как это показано на рис. 6.3,6.

в оптике существует фундаментальный закон, вытекающий из принципа наименьшего времени Ферма, в соответствии с которым в любой среде все лучи, исходящие из точки X и приходящие в другую точку Y, перемещаются от X до К заодно и то же время, независимо от пройденного пути. Применив его к волокну, можно видеть, что если было бы возможно найти такой профиль показателя преломления сердцевины, который обеспечивал бы постоянство г,, и Ф и равенство их для всех значений Е и /, то это означало бы, что волокно с таким профилем было бы свободно от межмодовой дисперсии. Известно, что таких профилей не существует. Однако изменение 2„ и Ф в пределах диапазона значений Е и / для лучей, распространяющихся в волокне, является мерой дисперсии волокна.

Этим методом была исследована дисперсия волокон с а- профилем, не обладающих материальной дисперсией, и получены результаты, идентичные тем, которые будут представлены в§ 6.3 на основе модово-го анализа. Лучевая модель обеспечивает более простую и физически ясную картину распространения света в оптических волокнах, но она не позюляет определить соотношений, существующих между различными факторами, вызывающими дисперсию, которые будут рассмотрены в §6.5.

6.3. МЕЖМОДОВАЯ ДИСПЕРСИЯ В ГРАДИЕНТНЫХ ВОЛОКНАХ

6.3.1. Межмодовая дисперсия без учета материальной дисперсии

в рамках лучевой модели дисперсия определяется изменением длин оптических путей лучей, распространяющихся по различным траекториям. При использовании модели волновых световодных мод она характеризуется диапазоном значений ве-тичины dp/do) для различных

М. Eve. Rays and time dispersion in muitimode praded core fibers. Optical and Quantum Electronics, 8, 285-93 (1976).

разрешенных мод. Обе эти модели эквивалентны в пределах приближений, которые были сделаны для градиентных волокон, и приводят к одинаковым результатам. В данном параграфе проблема дисперсии будет рассмотрена с точки зрения волновой модели. Начнем рассмотрение с анализа выражения (6.1.40) для постоянной распространения Рд группы мод, имеющих индекс модовой. группы q. Постараемся найти формулы для дисперсии в волокнах с а-профилем и, следовательно, получить значения а, которые будут минимизировать дисперсию. Предположим, что все моды испытывают одинаковое затухание. В таком случае

p, = p„(l-2A(<7/Q)2«/<«-2>l/ (6.1.40)

Q=.(aA/(a + 2)l/2p„a (6.1.41)

Po=rto«/c- (6.1.22)

Упростим это выражение следующим образом. Представим р, в таком виде:

р, = РЛ1-2А1/2, (6.3.1)

= (<7/Q)2«/(«

+ 2)

(6.3.2)

Световой импульс, имеющий угловую частоту «, будучи введен в волокно в виде мод группы q, проходит расстояние / вдоль оси волокна за время tg, определяемое формулой

tg = / (dp,/d«). (6.3.3)

Рассмотрим сначала гипотетический случай, когда волокно изготовлено нз материала, не обладающего материальной дисперсией, т. е. ни По, ни А не зависят от частоты. Поэтому можно записать

= /С,«-2«/(«+2), (6.3.4)

где Ki - параметр, не зависящий от частоты. Дифференцирование выражения (6.3.1) по (О приводит к

iE«L.il 2A]-i/2+Д-р„11 2А]-/2( 2А)-. (6.3.5) I dta 2 aw

Дифференцируя (6.3.4), получаем

d/d<o = - [2а/(а + 2)1 I /«, (6.3.6)

откуда

А-= [ 1 2АЕ] 1/2 - А [ 1 - 2А]/2 IziH X I с с (а + 2) (О