моды, поскольку для каждой из них возможны два направления поляризации волны и две ортогональные ориентации полей. Следовательно, для определения М двойной интеграл нужно умножить на 4, что дает

"max г г

L fe= о г= л.

drdk.

fe= о r= л,

(6.1.24)

Изменив порядок интегрирования и подставив полный диапазон возможных значений г, находим

а тах

J J J-(k„u.x-kyf2dkdr =

4 л

О Дг=0 1

л= О

-2sin-l(fe/fe,,) + A(fe,, fe2),/2

л J r 4

(6.1.25)

Подстановка вместо n (г) выражения для а-профиля дает

г2 ;.(а + 2)

iAll (r/a)ajdr=A

Л1= Г г

= 2р§ Аа* /J---1-\ = - а" р2 д

\ 2 а-Ь2 ; а + 2

2 a«(a + 2)Jo

(6.1.26)

При а = оо, что соответствует ступенчатому волокну, число мод, определяемое формулой (6.1.26), будет равно

M„ = a2p§A = a«o)2„2 д/«. (6.1.27)

= а» {п1-п1)/2с = Y (21М/Я)» (nj - nl).

(5.3.23)

Здесь для демонстрации полного соответствия со значанием Мсо, приведенным в § 5.3, вместо А было подставлено ее значение, определяемое (6.1.6), а также использованы подстановки л,, - и Пс /tg. Таким образом, окончательно получаем

УИ = [а/(а + 2)]М„. (6.1.28)

Отметим, что в случае градиентного волокна нормализованная частота V по аналогии с выражением (5.2.16) может быть определена следующим образом:

V = (a(o/c)(nJ-п)/2.

Таким образом,

V = - п„ (2Л) /2 = аРо (2А)(6.1.29) с

Следовательно, еще применимо соотношение

Л1„ = У*/2. (5.3.21)

Прн а = 2, что соответствует случаю волокна с параболическим профилем показателя преломления, в волокне может распростряпяться только половина этого числа мод. Это означает, что когда такое волокно и ступенчатое, имеющее одинаковый с ним диаметр сердцевины и то же самое полное изменение показателя преломления, освещаются источником, одинаково возбуждающим все моды, тогда градиентное волокно будет пропускать только половину мощности, передаваемой ступенчатым волокном. Следовательно, числовая апертура такого волокна уменьшается в 2 раза.

6.1.4. Изменение постоянной распространения

В качестве первого шага к определению дисперсионных свойств градиентных волокон можно определить число мод, которые имеют постоянную распространения Р больше некоторого наперед заданного значения Р, для света с заданной угловой частотой м. Другими словами, необходимо сделать вычисления по формуле (6.1.24), заменив Рс на Pl и изменив максимальный радиус а, прн котором распространяются световодные моды, на (Р). Обозначим это число мод р (Pi). Тогда получим

Гг (Р.)

0)2 Ф (г)

dr. Г6.1.30)

Для волокон с а-профилем величина (Pi) определяется нз соотношения

(о»л»(г,)/с» = Р!. (6.1.31)

Отсюда следует

[ 1 - 2Л (r,/a)«J = р§ [ 1 - 2Л (гг/а)«] = Pf (6.1.32)

(г,/а)« = (1-Р!/Р§)/2Л = (Р§-Р!)/2Др§. (6.1.33)

Воспользовавшись этими выражениями, находим

г 2 (Р.)

"l 2A(r/a)«-P?jdr =

(P.)

= J l(Pg-pf)r-2Apg(r/a)«rldr =

(P§-P?)--

(a-f 2)

!-P!) д2 (Pg-P?)°

(2Apg)2/«

2Apg g (a + 2)

(a + 2)

flApg

2Apg

(a+2)/a

Отметим, что отсюда вытекает следующее соотношение:

Ф8-Р L 2Apg

(а + 2)/а

(6.1.34)

(6.1.35)

Выражение (6.1.35) определяет относительную часть от общего числа распространяющихся мод, которые имеют постоянную распространения больше Pl. Нет никакого смысла оставлять индекс для Pi, и потому будем писать р (Р) для обозначения числа мод, имеющих постоянную распространения больше р. Как было найдено в последнем параграфе для случая ступенчатых волокон, когда рассматривались моды высоких порядков (Л > 1, m > 1), отстоящие далеко от частоты отсечки, для любой заданной моды допустимое относительное изменение постоянной .распространения мало по сравнению с ее изменениями при переходе от одной, моды к другой. Следовательно, можно разрешить уравнение (6.1.35) относительно Pi, опустив его индекс, и использовать это решение в качестве приближенного выражения для постоянной распространения р-й моды

Р = Ро [ 1 - 2Л (р/УИ)«/(«+2)11 /2. (6.1.36)

Для ступенчатых волокон а= оо и выражение (6.1.36) преобразуется к виду

Р = Ро[1-2Лр/Ли>/2. (6.1.37)

Ранее было уже получено выражение для постоянных распространения мод в слабо ступенчатых волокнах, использующее число модовых групп ц.

Р = Ро

(5.3.17)