Рис. 2.17. Среднеквадратическаи длительность импульса

Обратившись к рис. 2.17, увидим, что любой импульс (/), имеющий среднеквадратическую длительность о, после прохождения через линейную сисгему с и.мпульсной характеристикой (t), обладающей среднеквадратической длительностью Oj, будет иметь среднеквадратическую длительность а., причем

(2.4.27)

Предположи.м для удобства, что функции hg (t) и h, (t) нормализованные, т. е.

5 Kit)dt-~=l и f hi{t}dt=l.

(2.4.28), (2.4.29)

и будем считать, что начало координат (точка t 0) располагается на середине среднего времени длительность (t), откуда следует, что

J tho{t)dtO.

(2.4.30)

Воспользовавшись интегралом свертки, можно написать следующее выражение для выходного импульса:

h-At)= ] K{t~T)h,(T)dT.

(2.4.31)

Используя определение среднеквадратической длительности импульса, получаем

J fK{t)dt~ j thit)

(2.4.32)

Определим сначала второе слагаемое в (2.4.32), для чего сделаем замену переменных (х = / - т к dx = dt) к воспользуемся выражением (2.4.31):

J thAt)dt J (х+х) J К{х)кг{х)

Lt= -•

dx=.

= J Ai(T) j" {x + x)hoix)dx

X- - eo V.X~ - «»

oo OO

J /i,(T)[0-fT]dT= j </ii(0<.

(2.4.33)

Первое слагаемое в (2.4.31) может быть вычислено аналогичной подстановкой, а именно л: = / - т, так что = л: -Н 2.кт + т", которая приводит к следующему результату:

j h, (t)dt = j (;c + 2л:т +1) j Ло {x) h, (x)

dx==

dx=-

= j i(t) j 2хт4-т*)Ао(х)йл:

00 oo

- j Ai(T)k + 0 + TlA-a„-f j th,{t)dt. (2.4.34)

По аналогии с (2.4.31) можно написать выражение для среднеквадратической длительности импульсной характеристики волокна

j th,{i)dt-

thi it) dt

(= 0

(2.4.35)

Таким образом, просуммировав (2.4.31) ... (2.4.35), окончательно получим

(2.4.27)

Полученный результат не зависит от предположения (2.4.30), которое только упрощает алгебраические выкладки. Очевидно, он может быть распространен и на случай, когда выходной импульс проходит еще одну систему, ограниченную по полосе пропускания. Следовательно, из этого следует, что выражение (2.4.11) справедливо для импульсов любой физически реализуемой формы при условии, что материальную и межмодовую дисперсию можно рассматривать как независимые линейные процессы.

ЗАДАЧИ

2.1. Используя рис. 2.2, вычислить значения чи.-ловой апертуры (NA) углов а„ и Фт, атакже дисперсионных параметров {AT. I) и (31) для следующих ступенчатых волокон: а) rtj = 1,470, Яг = 1,455, - 1; б) rti = 1,46, п - = 1,40, Я(, = 1; в) rti = 1,46, Яг = Яа = 1 (волокно не имеет оболочки).

2.2. Показать, что для параксиальных лучей формулу (2.1.21) мо:кио аппроксимировать выражением (2.1.22).

2.3. Показатель преломления сердцевины волокна изменяется по радиусу в соответствии с (2.1.23), причем а = 30 мкм, а Д = 0,01. Показать, что параксиальные лучи от точечного источника, расположенного иа оптической оси, будут фокусироваться на оси с пространственным периоде f 0,67 мм.

2.4. Используя коэффициенты Селмейера для чистого кварца, приведенные в формуле (2.2.32), определить ко.»ффициенты А, В,С, D Е, необходимые для разложения показателя преломления в рид (2.2.31). Исходя из этого разложения, найти значения показатетя преломления чистого кварга на длинах волн 0,82; 1,27 и 1,55 мкм. (Заметим, что просто составить короткую программу для ЭВМ, позволяющую определять значения я и таких его производных, как У„ = КХ y.cPttldK, используя для этого или коэффициенты Селмелера, или коэффициенты ряда. Список экспериментальных значений коэффициентов Селмейера можно найти в табл. 7.3 [5.3]).

2.5. Амплитуда несущей волиы, имеющей угловую lacTory w., модулируется по синусоидальному закону сигналом с угловой частотой ы,. Показать, что скорость распространения модуляции, определяемая в личиной (df)ldu>)- со.. Где Р = 2я/Х,, равна постоянной распространения несущгй волиы.

2.6. Показать, что для источника, центральная во:иа излучения которого совпадает с длиной волны Х,о. соответствующей минимуку материальной дисперсии, самое значительное слагаемое в выражении (2.2.54) без учета первых трех равно

±[2X1 (dnldX)y + \t (dnldX)} (vV48).

2.7. Для чистого кварца Х„ = 1,28 мкм, id4/dX\ = - 0,048 и ЦХ X{d*nldX*)- 0.2274. Вычислить дисперсию, создаваемую источниками с шири-ной спектральной линии на уровне 0,5, равной 50, 100 и 150 им, центрированной относительно Xq, отметив значение слагаемого с у, а также указать, более длинные или более короткие волны обусловливают большую дисперсию. Объяснить, будет ли в действительности наблюдаться минимум дисперсии с источниками, излучающими более короткие или более длинные волны.

2.8. Проверить соотношения между среднеквадратической длительностью и длительностью на уровне 0,5 для импульсов, изображенных на рис. 2.16.

2.9. Проверить формулы (2.4.23) ... (2.4.26) для частотных характеристик волокна.

2.10. Проверить соотношение между; а) (Л/),,,,,, (А/); и 5; б) о, т и Л7 для четырех форм импульсов, приведенных иа стр. 00 и 00.

РЕЗЮМЕ

При использовании лучевой модели (справедливой ггри X0) распространение света в ступенчатом волокне происходит в результате его полного внутреннего отражения на внутренней поверхности сердцевина - оболочка. Волокно захватывает только часть света, излучаемого диффузным источником, численно равную Ф/Фц = = (NAy =- 2 пАп.