лощение. Необходимо помнить, что такой расчет не учитывает всех лучей, особенно тех, которые попадают в волокно вблизи границы раздела сердцевины и оболочки. Это выходит за рамки рассмотрения, однако отметим, что поправка будет мала в случае распространения излучения по волокну на больщие расстояния. Распространим наше обсуждение на волокна с плавным изменением показателя преломления, используя модовый состав распространяющейся волны. Убедимся, что опять будет получено выражение (П5.10).

При площади источника Л, в телесный угол будет излучаться

Ms-nj AsQsi/k- {П5.13)

независимых пространственных .мод. Каждая мода занимает телесный угол

QQjM,:-XVnl А,. (П5.14)

В гл. 5 было показано, что число волноводных мод, распространяющихся в ступенчатом волокне

М.-271 (Аск) {n\-ni).

.Следовательно, из общего испускаемого источником числа мод в волокно попадает доля

.И „ Ас (ni - nl)

что соответствует также доле собирае.мой волокном .мощности, В случае светодиода Q, ~ 4ji. т. е.

что соответствует полученному ранее результату (П5.10), поскольку Ф.9=Лгп*(-/4з/е)ерл

В гл. 6 было noKajano что число мод, распространяющихся по градиентному волокну с а-профилеу

где По - показатель преломления на оси; - показатель преломления оболочки. Ас ---= яо. Сравнивая с эквивалентным ступенчатым волокном {п = Ло и "2 = "с) видим, что распространяющаяся мощность снижается в а/(а + 2) раз.

ПРИЛОЖЕНИЕ 6.

ВЫВОД ФОРМУЛЫ для ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛАЗЕРНОГО ДИОДА [ВЫРАЖЕНИЕ (11.2.5)]

П6.1. СТАЦИОНАРНЫЕ УСЛОВИЯ

Рассмотрим скорость изменения концентрации электронов dnldt и скорость изменения плотности оптической мощности в лазерном моце-dP/dt в активной р-области N ~ р - Р двойной гетероструктуры (см. рнс. 10.4). На производную dn/d/влияют скорости: инжекции носителей; рекомбинации носителей, обуслов-

леииой иидуцироваиным излучением, и рекомбинации, обусловленной спонтанным излучением. Поэтому

Jl.jL.A(n-nth)P - ,П6.1)

dt ed тр

где J - плотность тока инжекции; d - толщина активной р-области; А коэффициент, имеющий размерность [м-Дж-*] н зависящий от числа актов индуцированной рекомбинации в единице объема за секунду, плотности оптической мощности и избыточной концентрации электронов надпороговым значением - nih, при котором достигается состояние инверсной населенности; тр - время спонтанной рекомбинации.

В лазерную моду излучается лишь ничтожная доля спонтанного излучения, поэтому ею можно пренебречь, тогда

dP Р

---hfcA{n-nth)P--, (П6.2У

dt tph

где Тр/, - среднее время жнзни фотона, определяющееся формулой (11.2.6).

Эти нелинейные уравнения упрощаются, если плотность оптической мощности выразить через эффективное число фотонов лазерной моды в единипе объема - Прн:

P=.nphhfc. (П6.3)

Положим

B~~Ah}c, (П6.4)

где В измеряется в [м-/с!. Тогда dn J

dt ed

-B{n-n,h)nph--- (П6.5).

в («-«,,) „р,--. (П6.6)

В стационарных условиях J - J„, n -- n„ и Лр/, ~ про соответствуют P = Po-Тогда dn/dt и dnphldt равны нулю, так что нз (П6.6) следует

В(л«-Л(л)- (П6.7)

а из (П6.5)

(П6.8)

ed Xph Tgp

Отметим, что на пороге возбуждения лазерного режима мощность Pq очеиь мала, так что можно считать лр/,о 0. Тогда пороговая плотность тока - У(л определяется выражением

(П6.9)

rдeл - концентрация электронов, соответствующая лазерному порогу. В этой простой модели концентрация электронов, которая определяется выражением (П6.7), остается неизменной и за порогом

«o = n(ft + -r--="1. (П6.10)

BTpft

и каждый новый инжектированный носитель производит фотон индуцированного излучения. В результате мощность лазерного излучения и плотность фотонов лииейио возрастают с током инжекции:

rph.

(П6.И)

Здесь мы пренебрегли вкладом спонтанного излучения. Если » nfi,

1 1 ed й----. (П6.12)

""рЛ i"L~"h) f/jft П Т,,р Тр/, J til

При выводе этого выражения использовались формулы (П6.10) и (П6.£).

П6.2. МАЛЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ СТАЦИОНАРНОГО СОСТОЯНИЯ

Рассмотрим малые возмущения характеристик стационарного состояния, вызванные малыми изменениями во времени плотности тока около Jq. Положим J " Jo Jl- п " «о i "i. прл = "s/io + iphi- Тогда формула (П6.5) приобретает вид

dt ed

- B{n„ - niii) п,фо-

(П6.13)

где пренебрегли членом пПр-. Сумма первых трех слагаемых равна нулю, поэтому

- апу /tpfio -

(П6.14>

Выражение (П6.6) преобразуется к виду:

В (n„~-ntf,)-

{npho-rnphi)-\-Bni ttpM = Bnittpha- (П6.15)

Объединив (П6.14)) и (П6.15), получим

d2 л, / 1

drii

fj4 I

d/2 I

РЛО -Г

Bnpflo 1

dt Tph ed

I driphi Briphe iphi

dJi dt Bnpho ed

(П6.16) (П6.17)

(П6.18)

Оба Эти уравнения имеют вид •-г р</ t M§j/.-/(/),

где в качестве у могут быть нли nj, или Лрм, а Р и Шо определяются следующими формулами

Р tSfphO-t lsp

Tsp J th (Jo-Jth) r.sp Tp/i J th

(П6.19) (П6.20)