Если граничные условия действительно обладают осевой симметрией, переменные будут разделены:

Фо(г. Ф)-Фг(0е4 (П!.4)

где к - целое число. Следовательно,

4>(г) еЧеРе(Ш .5)

При использовании цилиндрических координат уравнение (П1.2г) преобразуется к виду

.JL.. ±.E± J 0. (П1.6)

Подстановка (П1.5) в (П1.6) дает

Уравнение (П1.7) определяет радиальные картины полей, которые удовлетворяют волновому уравнению (П1.3), и может быть переписано следующим образом для сердцевины:

л? И

(П1.9)

а для оболочки оно примет вид где

j„2 p2 Jlii£l. (П1.11)

Уравнения (П1.8) и (П1.10) представляют собой уравнения Бесселя и их ре-игения включают в себя функции Бесселя и модифицированные функции Ганкеля аргументов (иг) и (wr) соответственно. Эти функции рассмотрены в§ 5.2. Чтобы решения были корректными, т. е. принимали конечное значение при г = О и стремились к нулю при г ->- со, необходимо, чтобы и и, и ш были действительными величинами.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ВОЛНЫ В ГРАДИЕНТНОМ ВОЛОКНЕ: ПРИБЛИЖЕНИЕ ВКБ (ВЕНЦЕЛЯ, КРАМЕРСА, БРИЛЛЮЭНА)

Производная в волновом уравнении (П 1.2) из Приложения 1 зависит от предположения об однородности среды и в § 6.1 было показано, что оно остается справедливым, когда (\lnP-) V (л) = (2/л) Ул мало. Пусть это условие выполняется и система обладает осевой симметрией, таким образом, радиальное изменение по-

ля описывается уравнением (П1.7). Если п в явном виде зависит от радиуса, это уравнение преобразуется к виду

d/-2 г dr

(П2.1)

Используя метод приближенного решения уравнения (П2.1), предложенный Джефри , с помощью ряда подстановок можно найти его решения, справедливые в определенных областях. Сначала можно исключить производную dy/dr с помощью подстановки

Тогда уравнение (Г12.1) становится таким:

Сделаем подстановку

0)2 1/4)

2-1/4)

и- \

Затем подставим 1 dU

и dr

Следовательно, g = jK, где /- = - 1. Теперь подставим h{r)

и dr Тогда

In и ~ h {r)dr или и--ехр h {г) dr

dh dr

I dU

I/ dr

dU \3

a следовательно.

gM-)-A2 -i-

dh dr

(П2.2) (П2.3) (П2.4) (П2.5)

(П2.6) (П2.7) (П2.8)

(П2.9)

В первом пиближении можно взять лишь первый член уравнения (П2.9), тогда

hxg н dh/drdg/dr. (П2.10)

Величину второго слагаемого (в П2.9) теперь можно оценить следующим образом:

1 Н. &. В. S. J е f f г е у S. A\ethods of Mathematical Physics 3rd Ed. C.U.P. (1972), Section 17. 12, pp. 519-22.

Таким образом, можно ограничиться только одним членом (П2.10) при условии, что

dg/dr

< I.

(П2.12)

Взяв лишь первый член, находим

Jgdr =ехр iKdr =.exp/J -n(r) -

a, вернувнжсь, Kij, получим

,1/2

,1/2

iKdr

(П2.13)

(П2.14)

В областях, где К принимает действительные значения, а ц - мнимые, величина 4V изменяется циклически в зависимости от радиальной координаты (экспоненциальная функция с мнимым показателем степени). В области же, где g становится действительной величиной, а К - мнимой,ч(.> монотонно уменьшается с увеличением радиуса. Эти два решения должны быть согласованы между собой, что ограничивает допустимые значения Р определенными собственными значениями кт- Описанный метод приближенного решения волнового уравнения многим хорошо известен благодаря широкому использованию в квантовой -механике при решении волнового уравнения Шредннгера. Обычно его называют приближением ВКБ. Решения (П2.14) неприменимы для точек, находящихся на оси, хотя этот метод можно легко приспособить для получения корректных решений н при г - 0. Из условия (П2.12) очевидно, что рассматриваемое приближение неправомочно, если производная dgldr велика и если q мало. Это означает, что с переходными областями в окрестности и на рнс. 6.2, где g - О, нельзя обращаться просто, и приходится прибегать к специальным способам для точного определения условий согласования решений на границе.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3.

ТРАЕКТОРИИ ЛУЧЕЙ В ГРАДИЕНТНОМ ВОЛОКНЕ

П.3.1. ПОЛУЧЕНИЕ ПАРАА4ЕТРИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТРАЕКТОРИИ ЛУЧА

Начнем с общего уравнения, описывающего распространение луча в неод-

нородной среде

(П3.1)

где г - вектор положения луча, s - расстояние, измеренное вдоль его траектории, п - показатель преломления среды. В нашем случае п - осесимметрич-ная функция, поэтому выберем ось цилиндрической системы координат совпадающей с осью симметрии п, благодаря чему п будет зависеть только от г. Расстояние по оси обозначим через г, а азимутальную координату - через ф. Опреде-

1 См. § 3.2.1 в [2.11 16 Зак. 142.5