Можно ввести коэффициенты ионизации соответственно для электронов и дырок (а-е и dft) как вероятность возбуждения данным носителем электрон-дырочной пары на единичном расстоянии. Эти коэффициенты быстро возрастают с ростом напряженности электрического поля, поэтому зачастую удобно пользоваться полем пробоя £проб> "Р" котором лавинное возбуждение становится критическим (скажем, а становится порядка 10* ... 10" м"). Зависимость и от электрического поля для некоторых полупроводников, перспективных для использования в качестве фотодетекторов, приведена на рис. 13.2. Эти графики соответствуют комнатной температуре. При повышении температуры значения коэффициентов ионизации уменьшаются, поскольку увеличивается число столкновений, понижающих высокоэнергетические хвосты в распределении энергии носителей, и, следовательно, уменьшается вероятность ионизации. Есть материалы, в которых ap>aft, в других > а, а в арсениде и фосфиде галлия оба коэффициента приблизительно равны. Величина отношения

k -= aja, (13.1.1)

составляет 0,01 -100. В предположении, что и зависят только от напряженности электрического поля Е, можно считать, что в пределах среднего расстояния между ионизирующими столкновениями (1/ар и 1/а): а) изменение £ мало; б) число упругих столкновений велико, так что устанавливается равновесное распределение по скоростям; в) потенциальная энергия носителя велика по сравнению с энер-

гией ионизации {еЕ > 2°)

Если ионизация вызывается только носителями одного типа, скажем, электронами (k = 0), то лавина развивается более простым путем, который иллюстрируется рис. 13.1, в. На интервале, значительно превышающем (l/a), число электронов растет экспоненциально. В реальных материалах k фО, что соответствует частичной положитель-чой обратной связи в процессе умножения. В результате появляется неопределенность в теоретическом расчете числа электрон-дырочных пар на конечном интервале. (Этот процесс аналогичен пробою Таунсен-да в газе, но несколько сложнее. В газе первичный электрон рождает ионы и электроны. Ионы падают на отрицательный электрод, где они с конечной вероятностью вызывают эмиссию вторичных электронов. Если первичный электрон произведет достаточное количество иоиов, чтобы в результате эмиссии появилось не менее одного электрона, ток может неограниченно нарастать и наступит пробой. На практике при этом устанавливается новая форма разряда, соответствующая большему току и меньшему напряжению.)

13.1.2. Теория лавинного умножения

Рассмотрим лавинное умножение в полупроводнике, находящемся в стационарном состоянии, причем электронный ток ig (0) инжектируется в обедненный слой размером w в плоскости д; = 0. Будем пред-

полагать, что иапряжеииость поля достаточно велика, чтобы вызвать лавину, ио число тепловых и фотоноснтелей незначительно. Несколько позже убедимся, что эти допущения вполне реальны для лавинных фотодиодов, изготовленных из материалов типа кремния, в которых В некоторой точке jc такой, что О < Jc < ш, скорость генерации носителей

die (х)

-= ie (Х) + a/ft (X),

(13.1.")

где ie (х) и if (х) - электрониый и дырочный ток в точке X. В каждой точке

ie (х) + ih{х)=/ const.

(13.1.3)

Если при X =w отсутствует инжекция дырок (со) О, то 4 (ш) = 1. Подставив (13.1.3) в (13.1.2), получим

die(x)

(13.1.4)

Интегрирование этого уравнения даст

(13.1.5)

Можно определить коэффициент умножения для инжектированных электронов

Me I/ie (0) ie {W)/ie (0) (13.1.6)

ie{0) + ie И«лехр

-j(ae~ah)dx

. о

e(O) ехр

-](«<,-«Л )dr

(13.1.7)

непосредственной подстановкой в (13.1.5). Перестановка дает

(13.1.8)

* Уравнение (13.1.4) имеет внд (dy/dx) + Р Q. Умножая на интегрирующий множитель, получаем d {Ry)/dx RQ, так что Ry ] RQdr. \ const.

Используя тот факт, что

получим

1 - I «рехр -- I («е-«/,) dx О L о

Условие пробоя

w Г

jaexp - (а-а) dx

dx ~\.

(13.1.9) (13.1.10)

(13.1.11)

Если в анализе учесть генерацию носителей G (д:) и инжекцию дырок ift (ш), то получим выражения, подобные (13.1.10), но несколько более сложные. Однако условие пробоя (13.1.11) остается тем же самым. При «в а, т. е. й 1 уравнения упрощаются, и тогда общий ток

t«(0) H-hf eG{x)dx о

(13.1.12)

1 - j" Uedx

Однако при этих условиях (к 1) значения М > 10>резко зависят от напряженности электрического поля и меняются поперек площади диода, если имеются слабые изменения распределения примеси. Этот эффект усиливается, когда лавина возбуждается «неправильными» носителями - электронами в материале с к> \ или дырками в материале с к<а I.

d{e«)ldx.., е" (dyldx).

dx~r const.

Положим y-.-{ae-ah)dx. Тогда dy/dx- {ag-af,)

j (a,, -a/,) dx

-j" (ae - ah) exp

- I («е 0

ал) dx

йл; I const.

Вычисление этого выражения при л; = О показывает, что константа равна единице.