Функция LinearSolve имеет два аргумента. Первый - матрица коэффициентов системы, а второй - список ее правых частей.

LinearSolve[m, с]

г-(Ь2 с1) + а2с2 -{Ы с1) + а1 с2-> а2Ы-а1Ь2 -(а2 61) + al 62J

Здесь с= {с1,с2} - вектор правых частей системы. Функция LinearSolve наиболее эффективна в случае систем большой размерности с разреженными матрицами коэффициентов.

2.6. Математический анализ

Одну из фундаментальных операций математического анализа - дифференцирование - осуществляют две функции: D и Dt. Выражение D[expr,x] имеет результатом (частную) производную выражения ехрг по переменной х. При вычислении смешанных и кратных производных второй и т.д. аргументы функции D могут быть заданы в виде списков вида {иаг,,/с,}, где ki - порядок производной по переменной иаг:

dif = D[x-3 Sin(x~2] Е-(-х),{х,2}] UxCos[x] 4x*Cos[x] 6xSin[x]

6xSin[x] xSin[x] 4xSin[x]

Вычислена вторая производная от функции xsinxe""*, заданной в виде явной аналитической формулы. Рассмотрим произвольную функцию f[x,y] и вычислим ее третью смешанную производную df/дхду:

D[f[x,y],x,{y,2}] f()[x,y]

Ответ записан с помощью мультииндекса (1,2), компоненты которого показывают, что вычислена первая производная по

первому аргументу и вторая производная по второму аргументу. Модуль мультииндекса, равный сумме его компонент, указывает порядок производной. Внутренняя форма вычисленного выражения difZ есть

difZ / / FuUForm

Derivative[l,2][f][x,y]

Здесь нам встретилось выражение, заголовок которого не является символом. „Математика" всегда сводит производные, которые она не смогла явно вычислить, к выражениям с заголовком Derivative[ni,n2,...][/].

Любое выражение, не содержащее символов, по которым производится дифференцирование, функция D рассматривает как константу по переменным дифференцирования:

D[aSm[x],x] aCos[x]

В отличие от функции D функция Dt, полная производная, рассматривает все символы, входящие в дифференцируемое выражение как функции от переменных дифференцирования:

Dt[aSm[x],x]

aCos[x]-\- Dt[a,x]Sin[x]

Если второй аргумент у функции Dt не указывается, то Dt[expr] понимается как дифференциал выражения ехрг:

Dt[aLog[y]]

- + Dt[a]Log[y] У

Операцией, обратной дифференцированию, является нахождение первообразной. Соответствующая функция „Математики" - Integrate:

Integrate[dif, х]

2xCos[x] 3a:2 5m[x2] х Sin[x]

Заметим, что константа интегрирования отсутствует. Это означает, что в общем случае Integrate вычисляет локальную первообразную, т.е. функцию, которая может иметь скачки в дискретном множестве точек (см. упр. 4 к этой главе).

Для вычисления определенного интеграла в качестве второго аргумента функции Integrate указывается список {х,а,Ь}, первым элементом которого является переменная интегрирования, вторым элементом - нижний, третьим элементом - верхний предел интегрирования:

Integrate[dif, {x,0,Sqrt[Pi]]

ESqrt[Pi]

Здесь Рг есть встроенная константа - число тг. Функция Integrate позволяет вычислять повторные интегралы. В последних пределы интегрирования по переменным даются в том порядке, какой принят в математическом анализе:

Integrate[x + у, {х, 0,2а}, {у, О, х}] 4аЗ

В примере вычислен кратный интеграл от функции х + у по треугольной области О. - {(г, у) 0<x<2a,0<i/< х}.

Разложение функций в ряды Тейлора осуществляет функция Series. При вычислении выражения Series[f, {х,хо,п}] находится сумма первых п-\- \ членов разложения функции / в ряд Тейлора в окрестности точки xq:

{Series[f[x],{x,0,3}],Series[E(-x-2)Log[l-bx],{x,0,3}]}