Главная  Длительная эволюция 

[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86]

Упражнения

1. Вычислите выражения N[Pi,3], N[Pi,6], N[Pi,100]. Что они означают? Вычислите число е, представленное в „Математике" символом Е, с пятьюдесятью верными цифрами. Узнайте, сколько времени займет на вашем компьютере нахождение приближенного значения числа п с тысячью верных цифр, вычислив выражение

N[Pi,1000] Timing

2. Как узнать, что больше: е" или л ?

3. С помощью функции Factor разложите на множители полиномы а - x*, - + 2ау-- и а + 2у/2ах + . Вычислите Expand[(a--+ у/2х)]. О чем говорит сравнение двух последних результатов?

4. С помощью встроенной функции D вычислите смешанную производную от функции yexp(iy) по i и у. Сколько времени займет вычисление частной производной десятого порядка от этой функции по переменной х на вашем комтютере?

5. С помощью функции Integrate вычислите определенный интеграл от функции xsinx от О до тг. Постараиктесь узнать, как это сделать, получив информацию о функции Integrate с помощью ? Integrate.

6. Найдите решения систем уравнений х = 1, i - у = 1/2 и -)- у = = 1, г- у = 0.5. Установите геометрический смысл решений, вычислив выражение

Plot[{Sqrt[l - х-2], -Sqrt[l - х"2],х - 1/2}, {х, -1,1}, PlotStyle -4 {{RGBColor[0,0,1]}, {RGBColor[0,1,0]}, {RGBCoIor[l,0,0]}}, AspectRatio -> Automatic]

7. Найдите численное значение наибольшего корня уравнения sin г = 0.1г. Предварительно постройте графики функций sinx и O.lx с помощью функции Plot.

8. Вычислите выражения True False и True 11 False. Инфиксными формами каких логических функций являются & & и 11 ?

9. Вычислите пять первых членов разложения функции Ь(1 - х)Ь(1 + х) в ряд Тейлора в окрестности точки х = 0. Натуральный логарифм представлен в „Математике" функцией Log.

10. Установите, какая функция натурального аргумента определена соотношением

f[n -Integer] := Apply[Times,Range[n]].



Глава 2

СИМВОЛЬНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ

„Математика" позволяет автоматизировать практически все типы символьных вычислений, встречающиеся в теоретической и прикладной математике. Ниже мы приведем обзор основных функций, применяемых при проведении символьных преобразований.

2.1. Преобразования многочленов

Начнем с простейших примеров. Присвоим символу о1 значение следующего алгебраического выражения:

а1 = (х-Ьу)-3-(-(х-Ьу)(у-1) (-1 + у)(х-Ну) + (х + у)3

Мы видим, что сама по себе „Математика" не стремится раскрыть произведения. Это делает функция Expand, раскрывающая произредения и положительные степени сумм.

а2 = Expand[al]

у функции Expand может быть второй аргумент. При вычислении выражения Expand[expr, pattern] не раскрываются те элементы ехрг, которые не содержат членов, отвечающих шаблону pattern.

Expand[al,y- 1]

-x-y + y{x + y) + {x + yf



Expand[al,x + y]

+ х{-1 + у) + Зх2у + (-1 + у)у + Зху + уЗ

Противоположной функции Expand по действию является функция Factor, которая раскладывает полиномы на множители над полем рациональных чисел.

Factor[a2]

(i + у)(-1 +хЧ У + 2а:у-Ь у2)

Обе рассматриваемые функции имеют дополнительные, не обязательно указываемые аргументы, или опции. Если один из этих аргументов задать в виде Trig->True, то тригонометрические функции будут трактоваться как рациональные функции экспонент.

Expand[2Sin[x]"3,Trig -> True] 3Sin[x] Sin[3x]

2 ~ 2 Factor[Sin[3x],Trig -> True]

{l + 2Cos[2x])Sin[x]

Аналогичными Factor являются следующие функции. Вычисленное выражение FactorList[poly] представляет собой список множителей полинома ро/у вместе с показателями степеней, с которыми они входят в разложение poly на множители. Первый элемент списка есть общий численный множитель, а если такового отличного от единицы нет, то список начинается с {1,1}. Например, FactorList[2(l -х4)(1 -х)] при вычислении приводит к следующему результату: {{2,1},{-Ц-1,2}, {1 + х,1},{Ц-хМ}}.

Функция FactorTerms позволяет вынести общий числовой множитель в слагаемых своего аргумента poly; вычисление FactorTerms[po/y,x] позволяет вынести общий множитель, не зависящий от х; FactorTerms[poly, {xi,X2,...}] последовательно выделяет множители, не зависящие от каждого х,. Вычисленное выражение FactorTermsList[poly,{xi,X2,...}] дает



[0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [ 10 ] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19] [20] [21] [22] [23] [24] [25] [26] [27] [28] [29] [30] [31] [32] [33] [34] [35] [36] [37] [38] [39] [40] [41] [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [49] [50] [51] [52] [53] [54] [55] [56] [57] [58] [59] [60] [61] [62] [63] [64] [65] [66] [67] [68] [69] [70] [71] [72] [73] [74] [75] [76] [77] [78] [79] [80] [81] [82] [83] [84] [85] [86]

0.0008